Quantifier atau kuantor adalah kata yang mendahului kata benda sebagai fungsi untuk menunjukkan jumlah dari benda tersebut. Sehingga, pernyataan berkuantor merupakan pernyataan yang mengandung ukuran kuantitas atau jumlah. Kata yang digunakan sebagai penunjuk kuantitas/jumlah biasanya adalah semua, beberapa, ada, dan lain sebagainya. Dalam bahasan logika matematika, pernyataan berkuantor terdiri dari kuantor universal, kuantor eksistensial dan kuantor bersarang.

Kuantor Universal

Kuantor universal atau kuantor umun adalah ungkapan kata yang menyatakan keseluruhan, dan biasanya dinyatakan dengan kata semua (setiap, seluruh, tiap-tiap) yang menunjukan bahwa semua anggota memiliki kondisi yang sama.

Kuantor universal diberi simbol khusus “"”

dibaca: “untuk semua”, “untuk setiap”, “untuk tiap-tiap”.

Contoh pernyataan yang mengandung kuantor universal

Semua manusia tidak kekal

“Semua” ®Kuantor universal

Ditulis: ("x) M(x)®K(x)

Dimana: M sebagai pengganti manusia, dan K sebagai pengganti tidak kekal

Dibaca: untuk semua x, jika x adalah manusia, maka x tidak kekal.

Semua gajah mempunyai belalai

“Semua” ®Kuantor universal

Ditulis: ("x) G(x)®B(x)

Dimana: G sebagai pengganti gajah, dan B sebagai pengganti mempunyai belalai.

Dibaca: Untuk semua x, jika x adalah gajah, maka x mempunyai belalai.

Kuantor Eksistensial

Dalam pemeriksaan suatu pernyataan berkuantor tidak selalu memenuhi sebagai kuantor universal, sehingga perlu penyajian lain yaitu kuantor eksistensial. Kuantor eksistensial sering disebut juga kuantor khusus adalah ungkapan kata yang menunjukan keberadaan khusus dan dinyatakan dengan kata terdapat (ada, beberapa, sekurang kurangnya satu) anggota yang memiliki kondisi atau sifat tertentu.

Kuantor khusus ini diberi simbol “$”

dibaca : “Terdapat”, “ada”, “paling sedikit satu”, “sekurang-kurangnya satu”, “beberapa”

· Contoh pernyataan yang mengandung kuantor eksistensial :

Ada mahasiswa yang memperoleh beasiswa berprestasi

“Ada” ® Kuantor eksistensial

Misal: M sebagai pengganti mahasiswa, dan B sebagai pengganti memperoleh beasiswa berprestasi

Ditulis : ($x) M(x) Ù B(x)

Dibaca: ada x dimana x adalah mahasiswa, dan x memperoleh beasiswa berprestasi

Terdapat bilangan prima yang genap

“Terdapat” ® Kuantor eksistensial

Misal : p = bilangan prima dan G = genap

Ditulis : (Ǝx) (P(x) Ù G(x))

Dibaca: Terdapat x, dimana x adalah bilangan prima dan x adalah genap

Kuantor Bersarang

Kuantor bersarang dapat kita sebut juga sebagai kuantor majemuk. Sebelum ke dalam materi apa itu kuantor bersarang. Kita review sedikit mengenai pernyataan majemuk. Pernyataan majemuk adalah pernyataan gabungan dari beberapa pernyataan tunggal yang dihubungkan dengan kata hubung. Dan dari sini kita tahu bahwa pernyataan majemuk dalam matematika terdiri dari disjungsi, implikasi, bi implikasi yang telah kita pelajari sebelum nya.

Sehingga dapat kita simpulkan, definisi dari kuantor bersarang atau kuantor majemuk ialah sebuah pernyataan yang di dalamnya meruapakan gabungan dari 2 kuantor, kuantor umum (universal) dan kuantor khusus (eksistensial).

· Contoh Pernyataan yang mengandung kuantor bersarang

Semua hasil panen mangga dalam sebulan menghasilkan 25 kg dan beberapa dari hasil panen tersebut ada yang busuk.

Negasi Pernyataan Majemuk

Negasi atau ingkaran dalam bahasan logika matematika memiliki arti lawan atau kebalikan dari pernyataan awal. Nilai kebenaran dari suatu premis dengan ingkaran premis selalu menyatakan hubungan yang berlawanan.

Negasi Pernyataan Kuantor Universal dan Eksistansial

Kuantor universal dan eksistensial memiliki hubungan saling berkebalikan. Bentuk ingkaran dari kuantor universal adalah kuantor eksistensial, begitu juga untuk ingkaran dari kuantor eksistensial adalah kuantor universal. Dalam kata lain dapat disimpulkan bahwa negasi atau ingkaran dari semua/setiap adalah ada/ beberapa/ terdapat. Kondisi sebaliknya juga berlaku, negasi/ingkaran ada/ beberapa/ terdapat adalah semua atau setiap.

· CONTOH SOAL :

1. ingkaran pernyataan berkuantor universal:

Pernyataan berkuantor universal: Semua hewan memiliki penglihatan yang baik di malam hari disebut nokt
Ingkaran: Beberapa hewan tidak memiliki penglihatan yang baik di malam hari.

Pernyataan berkuantor: ∀x ∊R ∍ (4x ≥ 6)
Ingkaran: ~(∀x ∊R ∍ (4x ≥ 6)) ≡ ∃x ∊R ∍ (4x < 6)

2. ingkaran pernyataan berkuantor eksistensial :

Pernyataan berkuantor eksistensial: Beberapa mahasiswa mendapat nilai IPK yang sempurna pada ujian akhir skripsi.

Ingkaran: Semua mahasiswa tidak mendapat nilai IPK yang sempurna pada ujian akhir skripsi.

Pernyataan berkuantor eksistensial: ∃x ∊R ∍ (2x – 2 < 0)
Ingkaran: ~(∃x ∊R ∍ (2x – 2 < 0)) ≡ ∀x ∊R ∍ (2x – 2 ≥ 0)

3. Jika diketahui persamaan x+3>10, dengan x adalah himpunan bilangan bulat positif A >5 .Tentukan nilai kebenaran (∀x∈A) x+3>10.

Untuk menentukan nilai kebenarannya, maka harus dicek satu persatu.

A={1,2,3,4}. Jika kuantor universal, maka untuk semua nilai A yang dimasukkan harus memenuhi persamaan yaitu x+3>10

Untuk A=1, maka 1+3>10 ≡ 4>10 Memenuhi

A=2, maka 2+3>10 ≡ 5>10 Memenuhi

A=3, maka 3+3>10 ≡ 6>10 Memenuhi

A=4, maka 4+3>10 ≡ 7>10 Memenuhi

Karena semua himpunan A memenuhi, maka (∀x) x+3>10 bernilai benar.

Tapi jika ada satu saja nilai A yang tidak memenuhi, misalnya dimasukkan A=8, sehingga 8+3>10 ≡ 11>10, dimana hasilnya salah maka (∀x) x+3>10 bernilai salah.